k এর মান কত হলে, 3x + 4y = k রেখাটি $x^2+y^2=10x$ বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

বৃত্তের স্পর্শক (tangent) এবং অভিলম্ব (normal) এর সমীকরণ বের করার জন্য বৃত্তের সমীকরণ এবং নির্দিষ্ট বিন্দু ব্যবহার করা হয়। যদি আমাদের বৃত্তের সমীকরণ হয়:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

এখানে \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং \(r\)হলো ব্যাসাধ

ধ১. স্পর্শকের সমীকরণ

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_1, y_1)\) থেকে যদি একটি স্পর্শক আকা হয়, এবং যদি \((x_1, y_1)\) বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়, তবে সেই স্পর্শকের সমীকরণ হবে:

\[
(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2
\]

অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:

\[
x x_1 + y y_1 - h(x + x_1) - k(y + y_1) = 0
\]

এটি হলো সেই বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ।

২. অভিলম্বের সমীকরণ

অভিলম্ব হলো সেই সরলরেখা, যা কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্বভাবে অঙ্কিত হয়। যদি \((x_1, y_1)\) বৃত্তের ওপর অবস্থিত কোনো বিন্দু হয়, তবে অভিলম্বের সমীকরণ হবে:

\[
\frac{x - h}{x_1 - h} = \frac{y - k}{y_1 - k}
\]

অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:

\[
(x - h)(y_1 - k) = (y - k)(x_1 - h)
\]

এটি হলো সেই বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ।

স্পর্শক এবং অভিলম্বের এই সমীকরণগুলো বৃত্তের উপর অবস্থিত নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে তাদের আকার এবং অবস্থান নির্ধারণ করতে সহায়ক।